Математический Анализ в Формате PDF

Компактный курс математического анализа Игоря Шведова

Здесь находятся полные тексты учебников в формате PDF. Для тех, кто хочет переформатировать страницы или позаимствовать материал, здесь есть также материалы учебника в формате LaTEX (AMS).

Часть 1. Функции одной переменной (113 страниц, 722 КБ)

Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (88 страниц, 662 КБ)

Этот "компактный" курс математического анализа уже много лет читается на механико-математическом факультете Новосибирского Университета. Несмотря на краткость изложения (200 страниц малого формата), этот учебник соответствует "полному" курсу математического анализа, предназначенному для математиков.

Файлы в формате LaTEX (AMS) для тех, кто хочет позаимствовать формулы ☺

Предупреждение:

Чтобы LaTEX файлы можно было прочесть, их надо пропустить через LaTEX с кириллицей. Если Вы профессионально занимаетесь математикой, то соответствующие средства у Вас скорее всего уже есть. Если же их нет - и спросить совета не у кого - то установка и настройка LaTEX легко могут занять неделю, так что проще скачать PDF файлы учебника. 

Функции одной переменной в LaTEX

Функции многих переменных в LaTEX

После "печати" в форме PDF файлов некоторые буквы выглядят неудачно - читатели, потерпите!

Замечания и пожелания направляйте автору, shvedov [AT] math.nsc.ru.

Ну, а если уж Вы здесь, то загляните в Математический Тривиум Арнольда, чтобы узнать, так ли Вы учите(сь) математике

-----------------------------------------------------------------------------------------------

На всякий случай (и для поисковиков ) привожу оглавления обоих томов:

КОМПАКТНЫЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Часть I

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Глава 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ 0.0. О терминологии и обозначениях. Высказывания, аксиомы, теоремы. Стандартные обозначения. Постоянные и переменные. Способы задания множеств. Принцип совпадения множеств.

§ 0.1. Числовая прямая. Свойства системы вещественных чисел. Расширенная числовая прямая; отношение порядка; арифметические операции; модуль и знак числа. Промежутки. Ограниченные подмножества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Аксиома граней. Индуктивное свойство натурального ряда. Принцип Архимеда. Принцип математической индукции; биномиальные коэффициенты. Теорема о пересекающихся отрезках; принцип вложенных отрезков. Диаметр числового множества. Окрестности точек расширенной числовой прямой. Свойства системы окрестностей.

§ 0.2. Отображения . Понятие отображения; бытующая терминология. Область задания отображения; пространство значений; образы и прообразы точек и множеств; график отображения. Сужение отображений. Постоянные, инъективные, сюръективные и биективные отображения. Композиция отображений. Обратимые отображения; критерий обратимости.

Глава 1.ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 1.1. Предел последовательности .  Топологическое определение предела последовательности. Единственность предела. Предел монотонной последовательности. Лемма о пределе промежуточной последовательности. Асимптотическая истинность высказываний. Теорема о неравенстве пределов (ТНП). Арифметический критерий сходимости. (АКС) Теоремы о сумме пределов, о произведении пределов и об обратной величине предела. Теорема о пределе подпоследовательности. Теорема Вейерштрасса о частичных пределах; верхний и нижний пределы вещественной последовательности. Критерий Коши существования конечного предела; последовательности Коши. Вещественные числа по Вейерштрассу.

§ 1.2. Суммирование бесконечных числовых рядов. Примеры появления сумм бесконечных числовых рядов. Основные вопросы. Популярные разложения в степенные ряды (формулировки). Об употреблении термина "ряд". Частичные суммы ряда. Сумма ряда. Суммируемые (сходящиеся) ряды; необходимое условие суммируемости. Сумма геометрической прогрессии. Условие суммируемости ряда 1/ns. Критерий Коши суммируемости ряда. Принцип сравнения. Абсолютно суммируемые ряды. Признаки Коши и Даламбера суммируемости ряда. Неравенство Абеля; признак Абеля–Дирихле; типичные примеры. Теорема Мертенса о произведении рядов. Область суммируемости экспоненциального ряда; экспонента; ее свойства. Иррациональность числа e. Трансцендентность числа Лиувиля. Сходимость последовательностей и суммирование рядов в поле комплексных чисел.

Глава 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ.

§ 2.1. Свойства операции lim. Точки прикосновения подмножеств расширенной числовой прямой. Асимптотическая истинность высказываний. Предел функции по подмножеству. Единственность предела. Пределы монотонных функций. Лемма о пределе промежуточной функции (ЛППФ). Теорема о неравенстве пределов (ТНП). Арифметический критерий сходимости (АКС). Теоремы о сумме пределов, о произведении пределов и об обратной величине предела. Теорема о пределе композиции. Критерий сходимости Гейне.

§ 2.2. Асимптотические отношения сравнения. Свойства асимптотических сравнений; связь с операцией предела.

Глава 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.

§ 3.1. Непрерывность функции в точке.

Топологический критерий непрерывности. Теорема о композиции непрерывных функций. Лемма о непрерывности промежуточной функции. Операции над непрерывными функциями. Лемма об устойчивости строгих неравенств. Локальный характер свойства непрерывности. Лемма о пределе огибающих.

§ 3.2. Глобальная непрерывность. Теорема Вейерштрасса об экстремумах. Теорема Больцано–Коши о промежуточных значениях. Признак Больцано строгой монотонности. Теорема об обратной функции.

§ 3.3. Основные элементарные функции. Функции xn и корень n-ной степени x. Экспонента и натуральный логарифм. Теорема–определение показательной функции; log . Функции sin и arcsin; cos и arccos; tan и arctan .

Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 4.1. Производная и дифференциал. Дифференцируемые функции; производная. Односторонние производные. Теорема о лейбницевом разложении; дифференциал. Кинематическая и геометрическая интерпретации производной и дифференциала; касательная к графику дифференцируемой функции. Непрерывность дифференцируемых функций. Правила дифференцирования. Локальный характер дифференциальных понятий. Лемма о производной промежуточной функции. Лемма о знаке производной. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума). Теоремы Ролля и Лагранжа о среднем. Теорема о приращениях. Признаки возрастания и убывания. Достаточные признаки локального экстремума. Выпуклые множества и функции; барицентрический критерий выпуклости; неравенство Иенсена. Дифференциальные признаки выпуклости; неравенство Юнга. Правило Лопиталя.

§ 4.2. Многократная дифференцируемость. Высшие производные. Правила многократного дифференцирования суммы и произведения. Признаки многократной дифференцируемости композиции и обратного отображения.

§ 4.3. Локальная аппроксимация функций полиномами. Лемма о степенной оценке приращения. Теорема о разложении Тейлора. Лагранжева оценка остатка разложения Тейлора. Порядок касания функций в точке. Операции над полиномиальными разложениями. Исследование локального поведения функций посредством полиномиальных разложений. Популярные разложения в степенные ряды; оценки остатков разложений. Формула Эйлера. Метод Мэчина "вычисления числа" "пи". Интерполяция по Лагранжу - Эрмиту. Обобщснная теорема Ролля. Оценка дефекта интерполяции. Теорема об интерполяции по Лагранжу-Эрмиту.

§ 4.4. Некоторые обобщения.

Глава 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Введение. Метод Ньютона вычисления площадей.

§ 5.1. Первообразная. Первообразная (неопределенный интеграл). Лемма о первообразных. Примеры и замечания. Правила неопределенного интегрирования. Разложение рациональной функции на простые дроби; первообразные рациональных функций. Обобщенная первообразная.

§ 5.2. Интеграл. Интегрируемые функции (по Ньютону); интеграл; формула Ньютона - Лейбница (Н-Л). Геометрическая интерпретация интеграла. Элементарные свойства интеграла. Интеграл как функция верхнего предела. Формула интегрирования по частям (ФИЧ). Формула замены переменной. Модернизированный принцип Кавальери. Интегральное представление остатка разложения Тейлора. Ньютоново разложение бинома. Иррациональность чисел "пи" и eq.

§ 5.3. Признаки интегрируемости. В основном непрерывные функции. Принцип сравнения. Признак существования обобщенной первообразной. Лемма о сходящемся интеграле. Критерий Коши сходимости интеграла. Асимптотический признак Вейерштрасса. Неравенство Абеля; признак интегрируемости Абеля-Дирихле; типичные примеры. Гамма-функция Эйлера; ее основное свойство; формула Стирлинга Формула прямоугольников; интеграл Римана. Формула Кепплера-Симпсона. Теорема о единственности интеграла.

Глава 6. ВЕКТОР-ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Евклидово пространство Rm. Компоненты (координаты) вектор-функции; геометрическая и кинематическая терминологии; траектория. Распространение понятий и теорем предыдущих глав. Координатные критерии сходимости, непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости. Теорема Коши о среднем; геометрическая интерпретация. Лемма о спуске; теорема о приращениях. Длина пути. Формулы для секториальной скорости. Формулы для площади криволинейного сектора. Работа силового векторного поля. Законы Кеплера и закон Ньютона всемирного тяготения.

Дополнения. Счетные множества. Расширение теории интеграла Ньютона.

КОМПАКТНЫЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Часть 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ]

Глава 7. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

§ 7.1. Метрические и нормированные пространства. Расстояния. Метрические пространства; подпространства. Произведение метрических пространств. Норма; примеры; неравенства Гсльдера и Минковского. Нормированные векторные пространства. Расстояние, индуцированное нормой. Произведение нормированных пространств.

§ 7.2. Основы анализа взаимного расположения (Analysis Situs). Окрестности точек; свойства системы окрестностей. Открытые множества; свойства системы открытых множеств. Точки прикосновения множества; замкнутые множества; топологический критерий замкнутости; свойства системы замкнутых множеств. Лемма об открытых (замкнутых) частях подпространства. Плотные подмножества. Внутренние и граничные точки подмножества. Диаметр множества. Ограниченные множества.

§ 7.3. Предел. Секвенциальный критерий замкнутости. Последовательности Коши; полные метрические пространства. Банаховы пространства. Полные подпространства пространства Rn. Суммирование рядов в банаховых пространствах. Общее понятие предела функции. Метрический критерий сходимости.

§ 7.4. Непрерывные отображения. Непрерывность отображения в точке; топологический, метрический и координатный критерии непрерывности. Теорема о непрерывности композиции. Операции над непрерывными функциями. Критерий глобальной непрерывности. Множества, определяемые системами уравнений и неравенств. Равномерно непрерывные отображения. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения. Топологические изоморфизмы (гомеоморфизмы). Линейно связные пространства. Компоненты линейной связности группы GL(n); критерий соориентированности базисов. Информация: теоремы Александера-Понтрягина,  Жордана-Брауэра и о вложении области.

§ 7.5. Компактность. Теорема Бореля-Лебега; компактные пространства. Взаимосвязь свойств компактности, ограниченности и замкнутости. Теорема Вейерштрасса об экстремумах. Непрерывные образы компактов. Теорема о непрерывной биекции компакта. Теорема Гейне о равномерной непрерывности. Секвенциальный критерий компактности. Произведение компактных пространств. Компактные множества в Rn. Эквивалентность норм в Rn.

Глава 8. ОСНОВЫ МНОГОМЕРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 8.1. Частные производные. Производная по вектору; частные производные; матрица Якоби. Принцип фиксации переменных. Необходимое условие локального экстремума. Лемма о степенной оценке приращения. Пример разрывной функции, дифференцируемой по каждому вектору.

§ 8.2. Дифференциал. Дифференцируемые функции; дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Формула для производной по вектору. Координатное представление дифференциала. Достаточный признак дифференцируемости. Правила дифференцирования. Градиент вещественной функции; его геометрические свойства. Потенциальные векторные поля; потенциал.

§ 8.3. Правила многократного дифференцирования. Высшие производные. Многократно дифференцируемые отображения; их свойства. Теорема о вторых производных; "контрпример". Мультииндексный формализм; запись высших производных. Правило дифференцирования монома. Критерий совпадения полиномов. Формула возведения суммы в степень. Линейные дифференциальные операторы; композиционное правило для операторов с постоянными коэффициентами. Высшие дифференциалы; их координатное представление. Гессиан вещественной функции; его координатное представление.

§ 8.4. Разложение Тейлора. Теорема о разложении Тейлора. Полином и ряд Тейлора. Интегральная форма остатка разложения Тейлора; лагранжева оценка остатка. Порядок касания функций в точке. Полиномиальные разложения суммы, произведения и композиции. Достаточное условие локального экстремума. Курьезы.

Глава 9. ОСНОВЫ ГЛАДКОГО АНАЛИЗА

§ 9.1. Отображения класса Cr. Отображения класса Cr; их свойства. Лемма о классе гладкости обратного отображения.  Cr-изоморфизмы и  Cr-вложения; примеры теорем о вложении. Лемма о липшицевом вложении области. Теорема о локальной обратимости (об обратной функции). Теорема о гладком вложении области. Криволинейные системы координат (карты); примеры. Лемма о локальном наложении. остаточное условие функциональной независимости системы функций. Теорема о неявной функции.

§ 9.2. Многообразия в Rn. Многообразия; их крайние точки. Леммы об открытых частях многообразия, об изоморфизме многообразий, о крае полупространства. Теорема о крае многообразия. Строение множества регулярных решений гладкой системы уравнений и неравенств. Лемма о локальном вложении.

§ 9.3. Касательное пространство/ Касательные векторы (кинематическое определение). Касательное пространство и контингенция; их свойства. Действие гладкого отображения на касательные векторы. Строение касательного пространства гладкого многообразия. Составление уравнений касательной и контингенции. Векторы, ортогональные к подмножеству; ортогональ. Теорема о градиентах. Геометрический вариант леммы Ферма. Метод множителей Лагранжа поиска условного экстремума. Приложения к анализу в пространстве матриц:  det; группы SL(n) и SO(n) - гладкие многообразия; элементы группы SL(n), ближайшие к нулевой матрице.

Глава 10. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

§ 10.1. Признаки равномерной сходимости. Равномерная сходимость последовательностей и рядов функций. Критерий Коши равномерной сходимости. Супремум-норма. Признаки Вейерштрасса и Абеля  Дирихле равномерной суммируемости ряда. Теорема Дини.

§ 10.2. Предельный переход и основные понятия анализа. Теорема о пределе пределов. Равномерный предел и непрерывность. Теорема об интеграле равномерного предела. Теоремы о пределе производных и о сумме ряда производных.

§ 10.3. Приложения

10.3.1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и круг сходимости степенного ряда. Теорема о сходимости степенных рядов. Теорема о сумме степенного ряда.

10.3.2. Ряды Фурье. Лемма о базисах Фурье. Коэффициенты Фурье интегрируемой функции. Функции класса Фурье; лемма о точках разрыва. Формула Дирихле. Теорема Фурье. Теоремы Вейерштрасса о тригонометрической и полиномиальной аппроксимации. Равенство Парсеваля. Изопериметрическое неравенство.